三階矩陣快速求逆的方法

• 伴隨矩陣法
  • 首先求三階矩陣$A$的伴隨矩陣$A^*$。對于伴隨矩陣$A^*$各元素：$A_{11}=(-1)^2\times(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$；$A_{12}=(-1)^3\times(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31}$；$A_{13}=(-1)^4\times(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$等元素（按照伴隨矩陣元素的定義求出所有元素）。然后求矩陣$A$的行列式$\vert A\vert$。最后$A$的逆矩陣$A^{-1}=\frac{A^*}{\vert A\vert}$，這里要求$\vert A\vert\neq0$，因為矩陣可逆的充要條件是其行列式不等于$0$ 。
• 初等變換法
  • 構(gòu)造一個增廣矩陣$[A|I]$，其中$A$是要求逆的三階矩陣，$I$是三階單位矩陣。然后通過一系列的初等行變換將左邊的$A$變?yōu)閱挝痪仃?span id="efkw9ql" class="katex">$I$，此時右邊的矩陣就是$A$的逆矩陣。例如可以使用倍加變換、倍乘變換和交換變換等操作。
• 待定系數(shù)法
  • 設(shè)三階矩陣$A$的逆矩陣$A^{-1}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix}$。根據(jù)$AA^{-1}=I$（$I$為單位矩陣），得到九個方程組成的方程組，然后解這個方程組求出$x_{ij}(i = 1,2,3;j = 1,2,3)$的值，從而得到$A$的逆矩陣。不過這種方法計算量相對較大。