魏爾斯特拉斯函數(shù)的構(gòu)造在魏爾斯特拉斯1872年6月18日的論文中首次展現(xiàn)，其表達(dá)式為fx = \sum_n=0 ^\infty a^n \cosb^n \pi x其中，0ltalt1，b 為正奇數(shù)，需滿足條件ab 1+\frac32 \pi這個(gè)函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)在于它雖然處處連續(xù)，但在每一個(gè)點(diǎn)上又不可導(dǎo)證明其連續(xù)；構(gòu)造 魏爾斯特拉斯的原作中給出的構(gòu)造是，其中0 lt a lt 1，b 為正的奇數(shù)，使得這個(gè)函數(shù)以及它處處連續(xù)而又處處不可導(dǎo)的證明首次出現(xiàn)在魏爾斯特拉斯于1872年6月18日在普魯士科學(xué)院出版的一篇論文中證明這個(gè)函數(shù)處處連續(xù)并不困難由于無(wú)窮級(jí)數(shù)的每一個(gè)函數(shù)項(xiàng)ancosbnπx的絕對(duì)值都小于常數(shù)an。

魏爾斯特拉斯函數(shù)，以其獨(dú)特的分形特性而聞名，是數(shù)學(xué)中一類處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)這個(gè)函數(shù)的出現(xiàn)推翻了當(dāng)時(shí)人們對(duì)連續(xù)函數(shù)的傳統(tǒng)理解，即認(rèn)為除了少數(shù)特殊點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)在每一點(diǎn)都有斜率魏爾斯特拉斯的函數(shù)定義為一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，其連續(xù)性和不可導(dǎo)性的證明在1872年的一篇論文中首次提出盡管；對(duì)于一元函數(shù)，可微和可導(dǎo)是等價(jià)的，即導(dǎo)數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，且等于該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)如果該點(diǎn)由定義則可導(dǎo)對(duì)于二元函數(shù)，若可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)則可微。

存在一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，即處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)函數(shù)魏爾斯特拉斯函數(shù)是此類函數(shù)的典型代表，但其實(shí)還存在更多復(fù)雜而精妙的構(gòu)造方法定理21提供了一種普遍的構(gòu)造技巧，可用于創(chuàng)建處處連續(xù)但處處不可微的分形函數(shù)這種方法巧妙地融合了連續(xù)性和不可導(dǎo)性，揭示了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性數(shù)學(xué)史上的諸多巨匠，如高斯；魏爾斯特拉斯在1872年的論文中構(gòu)造了一個(gè)獨(dú)特的函數(shù)，該函數(shù)既處處連續(xù)又處處不可導(dǎo)這個(gè)構(gòu)造的關(guān)鍵是利用0ltalt1和正奇數(shù)b，使得函數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)一致收斂，從而確保函數(shù)的連續(xù)性然而，函數(shù)的非導(dǎo)性部分是其獨(dú)特之處，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)不同數(shù)列趨近于同一點(diǎn)但極限值不相等，證明了其不可導(dǎo)性，這與通常的。

他解決矛盾的方法是不留心于指定課業(yè)，私下繼續(xù)自學(xué)數(shù)學(xué)，結(jié)果他沒(méi)有學(xué)位就離開(kāi)了大學(xué)他父親在明斯特一家?guī)熡?xùn)學(xué)校為他找到一個(gè)位子，他之后也得以注冊(cè)為該市教師他在這段學(xué)習(xí)中上了克里斯托夫·古德曼Christoph Gudermann的課，對(duì)橢圓函數(shù)萌生興趣1850年后魏爾施特拉斯患病了很久，但仍然發(fā)表論文。

由于級(jí)數(shù)的一致收斂性，魏爾斯特拉斯函數(shù)在其定義域內(nèi)是處處連續(xù)的不可導(dǎo)性證明魏爾斯特拉斯函數(shù)的獨(dú)特之處在于其處處不可導(dǎo)性這通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)不同數(shù)列趨近于同一點(diǎn)但極限值不相等來(lái)證明具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于函數(shù)中的任意一點(diǎn)，都可以找到兩個(gè)不同的數(shù)列，它們都以該點(diǎn)為極限，但沿著這兩個(gè)數(shù)列趨近時(shí)；魏爾斯特拉斯函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)級(jí)數(shù)分析得到了證明每個(gè)函數(shù)項(xiàng)a^n \cosb^n \pi x的絕對(duì)值都小于常數(shù)a^n，且正項(xiàng)級(jí)數(shù)\\sum_n=0 ^\infty a^n\由于收斂性，使得整個(gè)級(jí)數(shù)和fx在實(shí)數(shù)集\\mathbb R\上連續(xù)然而，關(guān)鍵的結(jié)論是，函數(shù)fx并非處處可導(dǎo)為了證明這一點(diǎn)，我們采用。

您好，答案如圖所示魏爾斯特拉斯函數(shù)是一類處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)魏爾斯特拉斯函數(shù)是一種無(wú)法用筆畫(huà)出任何一部分的函數(shù)，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都不存在，畫(huà)的人無(wú)法知道每一點(diǎn)該朝哪個(gè)方向畫(huà)而且該函數(shù)的每一點(diǎn)的斜率也是不存在的；盡管魏爾斯特拉斯函數(shù)處處連續(xù)，但它卻在每一點(diǎn)上都是不可導(dǎo)的這是因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖像在每個(gè)點(diǎn)上都像y=x在x=0處的尖點(diǎn)一樣，沒(méi)有平滑的切線換句話說(shuō)，無(wú)論我們?nèi)绾芜x擇一點(diǎn)并嘗試計(jì)算該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，都會(huì)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)不存在，因?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)附近的變化率不是唯一或穩(wěn)定的局部與整體的自相似性魏。

探索魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù)性與不可導(dǎo)性的奇妙組合 首先，讓我們聚焦于實(shí)數(shù)域上那個(gè)看似簡(jiǎn)單的狄利克雷函數(shù)Dirichlet Function它以獨(dú)特的分段形式定義 Dx = 0，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)，而Dx = 1，當(dāng)x是有理數(shù)定義域遍歷整個(gè)實(shí)數(shù)R，值域鎖定在0，1之間這個(gè)函數(shù)的奇偶性值得玩味由于有。

下面證明函數(shù)處處不可導(dǎo)對(duì)一個(gè)給定的點(diǎn)ltmathx \in \mathbb Rltmath，證明的思路是找出趨于ltmathxltmath 的兩組不同的數(shù)列l(wèi)tmathx_nltmath 和 ltmathx#39_nltmath，使得 ltmath\lim \inf \fracfx_n fxx_n x \lim \sup \fracfx#39_n fxx#39_n xltmath 這與函數(shù)可導(dǎo)的定義；編輯詞條 發(fā)表評(píng)論 歷史版本 打印 處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù) 在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測(cè)連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個(gè)點(diǎn)外都是可導(dǎo)的也就是說(shuō)，連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)至多是可列集在當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)的表示手段有限，而僅僅從初等函數(shù)或從分段初等函數(shù)表示的角度出發(fā)去。

連續(xù)性與不可導(dǎo)性盡管魏爾斯特拉斯函數(shù)的每一項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)都是連續(xù)且絕對(duì)值有界，級(jí)數(shù)整體上一致收斂，從而保證了函數(shù)的連續(xù)性，但魏爾斯特拉斯通過(guò)構(gòu)造矛盾的數(shù)列序列，證明了該函數(shù)在某一點(diǎn)都不可導(dǎo)這一點(diǎn)與直觀上認(rèn)為的連續(xù)函數(shù)幾乎可導(dǎo)形成了鮮明對(duì)比數(shù)學(xué)史上的意義魏爾斯特拉斯函數(shù)的提出打破了。